6.4 APROKSIMASI TERBAIK; KUADRAT TERKECIL

 

Aproksimasi merupakan cara pendekatan atau pembulatan dari hasil suatu pengukuran yang dilakukan.

Masalah aproksimasi. “Carilah aproksimasi terbaik yang mungkin melebihi suatu selang (interval) [a , b] pada fungsi f yang diketahui dengan hanya menggunakan aproksimasi ruang bagian (subruang) W dari C [a , b].”

 

Masalah Aproksimasi Kuadarat Terkecil. “Misal f adalah fungsi yang kontinu

pada selang [a , b] dengan C [a , b] mempunyai hasil kali dalam < f , g > = dan misalkan W adalah sebuah subruang berdimensi terhingga dari C [a , b]. Carilah sebuah fungsi g pada W yang meminimalkan │f- g²│ =² dx”

 

Penyelesaian Masalah Aproksimasi Kuadarat Terkecil. Jika f adalah sebuah fungsi kontinu pada [a , b], dan W adalah sebuah subruang berdimensi terhingga 25 dari C [a , b], maka fungsi g pada W yang meminimalkan galat rerata kuadrat ² dx adalah g = proywf, yaitu proyeksi ortogonal dari f pada W, yang relatif terhadap hasil kali dalam (9) < f , g> = dx. Fungsi g = proyeksi W f dinamakan aproksimasi kuadrat terkecil (least squares
approximation) f pada W.

 

Proyeksi Ortogonal Dipandang sebagai Aproksimasi

Jika P adalah sebuah titik di dalam ruang berdimensi 3 biasa dan W adalah sebuah bidang yang melewati titik asal ruang tersebut, maka titik Q pada W yang jaraknya terdekat dengan P dapat diperoleh dengan memproyeksikan P secara tegak lurus terhadap W (Gambar 6.4.1a).

Sehingga, jika u = , jarak antara P dan W diberikan oleh

ǀǀu – proj_wuǀǀ

Dengan kata lain, di antara semua vektor w pada W, vektor w = proj_wu meminimalkan jarak ǀǀu – wǀǀ (Gambar 6.4.1b).

Ada cara lain untuk memahami gagasan ini. Pandanglah u sebagai sebuah vektor tetap yang hendak kita aproksimasikan dengan menggunakan sebuah vektor pada W. Setiap aproksimasi w semacam ini akan menghasilkan sebuah “vektor kesalahan” (“error vector”)

u – w

yang tidak dapat dijadikan sama dengan 0, terkecuali jika u terletak pada W. Akan tetapi, dengan memilih

w = proj_w u

kita dapat menjadikan panjang vektor kesalahan

ǀǀu – wǀǀ = ǀǀu – proj_w uǀǀ

Sekecil mungkin. Sehingga, kita dapat mendeskripsikan proj_w u sebagai “aproksimasi terbaik” bagi u relatif terhadap vektor-vektor pada W. Teorema berikut akan membakukan gagasan intuitif di atas.

 

Teorema 6.4.1

Teorema
Aproksimasi Terbaik

Jika W adalah sebuah subruang berdimensi terhingga dari suatu ruang hasilkali dalam V, dan jika u adalah sebuah vektor pada V, maka proj_wu adalah aproksimasi terbaik (best approximation) bagi u pada W, dalam pengertian bahwa

ǀǀu – proj_w uǀǀ < ǀǀu – wǀǀ

untuk setiap vektor w pada Ww yang bukan
proj_w u.

Bukti. Untuk setiap vektor w pada W kita dapat menuliskan

u – w = (u – proj_w u)

namun proj_w u – w, karena merupakan selisih dari dua buah vektor pada W, terletak pada W; dan u – proj_w u ortogonal terhadap W, sehingga kedua suku pada sisi kanan (1) saling ortogonal. Dengan demikian, melalui Teorema Phytagoras (6.2.4),

ǀǀu – wǀǀ² = ǀǀu – proj_w uǀǀ² + ǀǀu – proj_w u – wǀǀ

Jika w ≠ proj_w u, maka suku kedua dari penjumlahan di atas akan bernilai positif, sehingga

ǀǀu – wǀǀ² ǀǀu – proj_w uǀǀ²

atau secara ekuivalen,

ǀǀu – wǀǀ
ǀǀu – proj_w uǀǀ         

 

Solusi Kuadrat Terkecil dari Sistem Linear
Hingga sejauh ini, kita menaruh perhatian hanya pada sistem persamaan linear yang konsisten. Akan tetapi, sistem linear yang tidak konsisten juga penting dalam berbagai aplikasi dibidang fisika. Sangat umum dijumpai sebuah situasi dimana beberapa permasalahan fisika menghasilkan sebuah sistem persamaan linear Ax = b, yang seharusnya konsisten dalam tataran teoritis namun menjadi tidak demikian karena adanya “kesalahan-kesalahan pengukuran” pada entri-entri A dan b yang mengubah sistem sedemikian rupa sehingga menimbulkan ketidakkonsistenan. Dalam situasi semacam ini kita akan berupaya untuk mencari nilai x yang “sedekat mungkin” dengan solusi yang diharapkan, dalam pengertian bahwa solusi ini dapat meminimalkan nilai ǀǀAx – bǀǀ merujuk pada hasilkali dalam Euclidean. Kuantitas ǀǀAx – bǀǀ dapat dipandang sebagai suatu ukuran dari “kesalahan” yang terjadi akibat memandang x sebagai solusi aproksimasi dari sistem linear Ax = b. Jika sistem konsisten dan x adalah solusi eksaknya, maka kesalahannya adalah nol, karena ǀǀAx – bǀǀ = ǀǀ0ǀǀ = 0. Secara umum, semakin besar nilai ǀǀAx – bǀǀ, semakin buruk nilai x sebagai aproksimasi solusi sistem tersebut.

 

Masalah Kuadrat Terkecil. Jika diberikan sebuah sistem linear Ax = b yang terdiri dari m persamaan dengan n faktor yang tidak diketahui, tentukan sebuah vektor x, jika mungkin, yang meminimalkan nilai ǀǀAx – bǀǀ merujuk pada hasil kali dalam Euclidean pada R^m. Vektor semacam ini desebut sebagai solusi kuadrat terkecil (least square solution) dari Ax = b.

 

TEOREMA 6.4.2

Untuk sistem linear sebarang Ax = b, sistem normal yang terkait

A^TAx =A^Tb

bersifat konsisten, dan semua solusi dari sistem normal dalah solusi kuadrat terkecil dari Ax = b. Selanjutnya, jika W adalah ruang kolom dari A, dan x adalah solusi kuadrat terkecil sebarang dari Ax = b, maka proyeksi ortogonal b pada W adalah

proj_w b = Ax

 

Keunikan Solusi Kuadrat Terkecil.

TEOREMA 6.4.3

Jika A adalah sebuah matriks m x n, maka pernyataan-pernyataan berikut ini adalah ekuivalen

1. A memiliki vektor-vektor kolom yang bebas linear
   
2. A^TA dapat dibalik
   

    

Teorema berikutnya adalah konsekuensi langsung dari Teorema 6.4.2 dan Teorema 6.4.3

TEOREMA 6.4.4

Jika A adalah sebuah matriks m x n yang memiliki vektor-vektor kolom yang bebas linear, maka untuk setiap matriks b, m x 1, sistem linear Ax = b memiliki sebuah solusi kuadrat terkecil yang unik. Solusi ini diberikan oleh

x = (A^TA)^-1 A^Tb

Selanjutnya, jika W adalah ruang kolom dari A, maka proyeksi ortogonal b pada W adalah

proj_w b = Ax = A(A^TA)^-1 A^Tb

Definisi

Jika W adalah sebuah subruang dari R^m, maka transformasi P: R^m W yang memetakan setiap vektor x pada R^m menjadi proyeksi proyeksi ortogonalnya proj^w x pada W disebut sebagai proyeksi ortogonal R^m pada W

 

TEOREMA 6.4.7

Jika A adalah sebuah matriks m x n, dan jika T_A : Rⁿ Rⁿ adalah perkalian dengan A, maka pernyataan-pernyataan berikut ini adalah ekuivalen.

1. A dapat dibalik
   
2. Ax = 0 hanya memiliki solusi trivial
   
3. Bentuk eselon baris tereduksi dari A adalah I_n.
   
4. A dapat dinyatakan sebagai hasilkali dari matriks-matriks elementer.
   
5. Ax = b konsisten untuk setiap matriks b, n x 1.
   
6. Ax = b memiliki tepat satu solusi untuk setiap matriks b, n x 1.
   
7. det(A)≠ 0.
   
8. Range dari T_A adalah Rⁿ.
   
9. T_A adalah satu ke satu
   
10. Vektor-vektor kolom dari A bebas linear.
    
11. Vektor-vektor baris dari A bebas linear.
    
12. Vektor-vektor kolom dari A merentang Rⁿ
    
13. Vektor-vektor baris dari A merentang Rⁿ
    
14. Vektor-vektor kolom dari A membentuk basis untuk Rⁿ.
    
15. Vektor-vektor baris dari A membentuk basis untuk Rⁿ.
    
16. A memiliki rank n.
    
17. A memiliki nulitas 0.
    
18. Komplemen ortogonal ruang nul dari A adalah Rⁿ.
    
19. Komplemen ortogonal ruang baris dari A adalah (0).
    
20. A^TA dapat dibalik.
    

 

SUMBER: [1] Anton, H dan Rorres, C (1995) Elementary Linear Algebra : Application Version, New

York : John Wiley & Sons.Inc.

Iklan